4.1 DEFINICION SERIES

Definición. Sea {a_K} una sucesión de puntos en R^m y s_n=∑^∞_k=1 a_K. a la sucesión {s_n} se les llama términos de la serie.

Comúnmente denotamos las series {s_n} por ∑^∞_k=1 a_Ko, simplemente, por ∑a_K. si la sucesión {s_n} converge al punto a, entonces  decimos que la serie ∑^∞_k=1 a_K tiene la suma a o que ∑^∞_k=1 a_K a a. la suma s_nde los primero n términos  _de la serie se le llama algunas veces suma parcial . Así pues,nuestra definición nos dice que una serie converge si y solo si la sucesión de sumas parciales converge. Como una sucesión puede convergir o no, una serie puede tener una suma o puede ser que no la tenga.

Si la serie ∑^∞_k=1 a_Ktiene la suma a, entonces a=lims_n donde  s_n=∑^∞_k=1 a_K.

De donde a = lim_n→∞  ∑^∞_k=1 a_K.Es practica constante escribir  a=∑^∞_k=1 a_K.asi pues la notación ∑^∞_k=1 a_Kse usa tanto para representar una serie como para representar una suma.

BIBLIOGRAFÍA:

Título: Análisis Matemático 2.

Autores: Norman B. Haaser, Jhosep P. Lasaile,  Jhosep A. Julliaan.

4.1.1 FINITA

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,

si no es una sucesión finita.

Ejemplos:

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita 

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras! 

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Cibergrafia:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

4.1.2 INFINITA

Sea (S_n) una sucesión infinita. Se puede formar la sucesión infinita de sumas parciales (S_n) como sigue:

S₁=s

S₂=s₁+s₂

S₃=s₁+s₂+s₃

:

S_n=s₁+s₂+…+…+s_n

:

Generalmente se designa (S_n) mediante  la notación

∑=S_n=s₁+s₂+…+s_n+…

Los números s₁,s₂…,s_n,… se denominaran términos de la serie.

Si s es un numero tal que lim_n→+∞S_n=S, entonces la serie ∑S_n convergente   y S recibe el nombre de suma de la serie. Casi siempre se representa s mediante ∑^+∞_n=1 s_n

Si no existe ningún numero S tal que el lim_n→+∞S_n=S, entonces la serie ∑S_n diverge. Si lim_n→+∞S_n=-∞, la serie diverge a +∞ y se escribe ∑^+∞_n=1 s_n=+∞. De igual forma, si lim_n→+∞S_n=-∞, entonces la serie diverge a -∞ y se escribe ∑^+∞_n=1 s_n=-∞.

Ejemplo:

Considere la sucesión <(-1)ⁿ⁺¹>. Los términos son s₁=1,s₂=-1,s₃=1m,s₄=-1 y así sucesiva mente. Por lo tanto,las sumas parciales comienzan con S₁=1,S₂=1+(-1)=0, S₃=1+(-1)+1=1, S₄=1+(-1)+(1)+(-1)=0 y continúan alternando unos y ceros. Por consiguiente, lim_n→+∞ S_n no existe y la serie diverge (pero no a+∞ o-∞).

BIBLIOGRAFÍA:

Título: Calculo Quinta Edición.

Autores: Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson.

Editorial: McGraw Hill.

4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE RAZON(CRITERIO DE D’ ALEMBET) Y PRUEBA DE RAIZ(CRITERIO DE CAUCHY)

 Serie numérica y convergencia prueba de la razon y prueba de la raíz.

En matemáticas, una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras que difiere de (Y, C, R), como las cuestiones de pedido. Las secuencias pueden ser finitos, como en este ejemplo, o infinita, como la secuencia de todos, incluso positivos enteros (2, 4, 6 ,…). secuencias finitos se conocen como cadenas o palabras y secuencias infinitas como los arroyos. La secuencia vacía () se incluye en la mayoría de las nociones de secuencia, pero pueden ser excluidos en función del contexto.

Ejemplos y notacion

Una secuencia de longitud finita n es también llamado n -tupla; secuencias finitas incluyen la secuencia vacía () que no tiene elementos.

Una de las funciones de todos los números enteros es que en un conjunto a veces se denomina secuencia infinita-bi o dos vías secuencia infinita. Un ejemplo es la secuencia bi-infinita de todos los enteros pares (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8 …).

Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)

 Sea una serie , tal que a_k > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

§  si L < 1, la serie converge.

§  si L > 1, entonces la serie diverge.

§  si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Cibergrafia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matemática#Criterio_de_D.27Alembert_o_Criterio_del_Cociente_.28Criterio_de_la_raz.C3.B3n.29

CALCULO INTEGRAL

4.3 SERIE DE POTENCIA

Una serie infinita

∑^+∞_n=0  a_n(x-c)ⁿ=a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)²+…

Se denomina serie de potencias en x en torno a c con coeficientes <a_n>. Un caso especial e importante

            ∑^+∞_n=0 a_nxⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…

Es una serie de potencia en torno a 0.

Para un valor x dado,la serie   ∑^+∞_n=0 a_n(x-c)ⁿ=a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)²+… converge o diverge. Por lo tanto   ∑^+∞_n=0 a_n(x-c)ⁿ=a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)²+… determina una función f cuyo dominio es el conjunto de todos los x para los cuales   ∑^+∞_n=0 a_n(x-c)ⁿ=a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)²+… converge y cuyo valor f(x) correspondiente es la suma de la serie.

Nótese que   ∑^+∞_n=0 a_n(x-c)ⁿ=a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)²+… converge cuando x=c.

Ejemplo:

La serie de potencias en torno a 0

∑^+∞_n=0 xⁿ=1+x+x²+…

Es  una serie geométrica con razón r=x. Así, converge para |x|<1 y su suma es   1/1-x. entonces, el dominio de la función correspondiente es un intervalo en torno a 0.

 BIBLIOGRAFÍA:

Título: Calculo Quinta Edición.

Autores: Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson.

Editorial: McGraw Hill.

4.4 RADIO DE CONVERGENCIA

Una serie de potencia en x puede verse como una función de x

f(x) = ∑^+∞_n=0  a_n(x-c)ⁿ

El dominio de f es el conjunto de todos los x para los cuales la serie converge.

El primer objetivo de esta sección consiste en averiguar el dominio de las series de potencia. Naturalmente, toda serie de potencia converge en su centro, ya que

f(x) = ∑^+∞_n=0  a_n(x-c)ⁿ

 =a₀(1)+0+0+…+0+…

=a₀

Teorema.    CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIA.

Para una serie de potencia centrada en c, exactamente una de estas tres afirmaciones es verdadera.

1.      La serie converge solo en c.

2.      Existe un número real R>0 tal que la serie es absolutamente convergente cuando  |x - c|>R

3.      La serie es absolutamente convergente para todo x real.

Ejemplo:

Calcular el radio de convergencia de

∑^+∞_n=0 n!xⁿ.

Solucion:     para x = 0,es

f (x) = ∑^+∞_n=0 n!0ⁿ = 1 + 0 + 0 +… = 1

Para cualquier valor fijado de x tal que |x|>0, denotemos u_n = n!xⁿ. Entonces

lim_n→∞|u_n+1/u_n| =lim_n→∞|((n+1)!xⁿ⁺¹)/n!xⁿ|

                        =|x|lim_n→∞ (n+1)

                        = ∞

Por el criterio del cociente deducimos que la serie diverge para |x|>0 y converge soloen su centro, el punto 0. Por tanto, su radio de convergencia es r=0.

BIBLIOGRAFÍA:

Título: Calculo y Geometría Analítica Sexta Edición.

Autores: Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards.

Editorial: McGraw Hill.

4.5 SERIE DE TAYLOR

Sea f una función infinitamente derivable en x0c, es decir, las derivadas f⁽ⁿ⁾(c) existen para todo entero positivo n.

La serie de Taylor para f en torno a c es la serie de potencia.

∑^+∞_n=0  a_n(x-c)ⁿ=a₀+a₁(x-c)+a₂(x-c)²+…

Donde a_n=f⁽ⁿ⁾(0)/n! para todo n. observe que f⁽⁰⁾ se toma como la función f en sí, de modo que a₀=f(c).

La serie de Maclaurin para f se la serie de Taylor para f un torno a 0, es decir, la serie de potencias

            ∑^+∞_n=0 a_nxⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…

Donde a_n= f⁽ⁿ⁾(0)/n! para todo n.

Ejemplo:

La serie de Maclaurin para sen x.

Sea f(x)=sen x. Entonces

F’(x) =cos x,

F’’(x) =-sen x

F’’’(x) =-cos x

Como f⁽⁴⁾(x)=sen x, las derivadas adicionales repiten este ciclo de cuatro funciones. Como sen 0=0 y cos 0=1, f^(2K)(0)=0 y f^(2K+1)(0)=(-1)^K. Por tanto, a_2K=0 y a_2K+1= (-1)^K/(2K+1)! .Entonces, la serie Maclaurin para sen x es

 ∑^+∞_n=0  ((-1)^K /(2K+1)!)x^2K+1=x-((x³/3!) +( x⁵/5!)-( x⁷/7!))+…

Una aplicación del criterio de la razón muestra que esta serie converge para todo x. no se sabe que sen x sea igual a su serie de Maclaurin.

BIBLIOGRAFÍA:

Título: Calculo Quinta Edición.

Autores: Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson.

Editorial: McGraw Hill.