Sea f
una función infinitamente derivable en x0c, es decir, las derivadas f(n)(c)
existen para todo entero positivo n.
La serie
de Taylor para f en torno a c es la serie de potencia.
∑+∞n=0 an(x-c)n=a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+…
Donde an=f(n)(0)/n!
para todo n. observe que f(0) se toma como la función f en sí, de
modo que a0=f(c).
La serie
de Maclaurin para f se la serie de Taylor para f un torno a 0, es decir, la
serie de potencias
∑+∞n=0 anxn=a0+a1x+a2x2+…
Donde an=
f(n)(0)/n! para todo n.
Ejemplo:
La serie
de Maclaurin para sen x.
Sea
f(x)=sen x. Entonces
F’(x) =cos x,
F’’(x) =-sen x
F’’’(x) =-cos x
Como f(4)(x)=sen
x, las derivadas adicionales repiten este ciclo de cuatro funciones. Como sen
0=0 y cos 0=1, f(2K)(0)=0 y f(2K+1)(0)=(-1)K.
Por tanto, a2K=0 y a2K+1= (-1)K/(2K+1)!
.Entonces, la serie Maclaurin para sen x es
∑+∞n=0 ((-1)K /(2K+1)!)x2K+1=x-((x3/3!)
+( x5/5!)-( x7/7!))+…
Una
aplicación del criterio de la razón muestra que esta serie converge para todo
x. no se sabe que sen x sea igual a su serie de Maclaurin.
BIBLIOGRAFÍA:
Título:
Calculo Quinta Edición.
Autores: Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson.
Editorial: McGraw Hill.
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