Una
serie infinita
∑+∞n=0 an(x-c)n=a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+…
Se
denomina serie de potencias en x en torno a c con coeficientes <an>.
Un caso especial e importante
∑+∞n=0 anxn=a0+a1x+a2x2+…
Es una
serie de potencia en torno a 0.
Para un
valor x dado,la serie ∑+∞n=0
an(x-c)n=a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+…
converge o diverge. Por lo tanto ∑+∞n=0
an(x-c)n=a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+…
determina una función f cuyo dominio es el conjunto de todos los x para los
cuales ∑+∞n=0 an(x-c)n=a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+…
converge y cuyo valor f(x) correspondiente es la suma de la serie.
Nótese
que ∑+∞n=0 an(x-c)n=a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+…
converge cuando x=c.
Ejemplo:
La serie
de potencias en torno a 0
∑+∞n=0
xn=1+x+x2+…
Es una serie geométrica con razón r=x. Así, converge
para |x|<1 y su suma es 1/1-x.
entonces, el dominio de la función correspondiente es un intervalo en torno a
0.
BIBLIOGRAFÍA:
Título:
Calculo Quinta Edición.
Autores: Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson.
Editorial: McGraw Hill.
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