4.6 REPRESENTACION DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE TAYLOR

 En donde,        R=f⁽ⁿ⁾(x₁)(x-a)ⁿ/n       (a<x₁<x)

El termino R se llama termino complementario o residuo después de n  términos.

Ahora bien la serie del segundo miembro de f (x) = f (a) + f’ (a) (x-a)/1+ ...+ f(n-1) (a) (x-a)n-l /n-1+R,concuerda con la serie Taylor f(x) = f (a) + f'(a) (x ~ a)/1 + f" (a) (x ~ a)²/2 +…+f(n) (a) (x~ a)ⁿ/n+ ....hasta n términos. Representando la suma estos términos por S_n , de f (x) = f (a) + f’ (a) (x-a)/1+ ...+ f(n-1) (a) (x-a)n-l /n-1+R,se deduce:

f (x)=S_n+R, o sea, f(x)-Sn=R.

Si suponemos ahora que para un valor fijo x=x₀  el residuo R  tiende a cero cuando n se hace infinito, entonces

                                                                  Lim_n→∞ S_{n =} f (x₀),

Y  f(x) = f (a) + f'(a) (x ~ a)/1 + f" (a) (x ~ a)²/2 +…+f(n) (a) (x~ a)ⁿ/n+ ...., representa la función para aquellos,  valores de x, y solamente para aquellos, para los cuales el residuo tiende

a cero cuando el número de términos aumenta infinitamente.

EJEMPLO :

Desarrollar In x en potencias de (x - 1).

Solución.       f(x) = In x,                      f(1)=0,

F’(x) =1/x,                          f’(1)=1.

F’’(x) =-1/x²,                    f’’(1) = -1.

F’’’(X) = 2/x³,,f’’’(1) = 2,

etc.                                   etc.

Sustituyendo en f(x) = f (a) + f'(a) (x ~ a)/1 + f" (a) (x ~ a)²/2 +…+f(n) (a) (x~ a)ⁿ/n+ ....,  In x = x - I – 1/2 (x - 1) ² + 1/3(x - 1) ³ - .,.-

BIBLIOGRAFÍA:

Título: Calculo Diferencial e Integral

Autores: Granville. William Anthony

Editorial: Limusa.