Una
serie de potencia en x puede verse como una función de x
f(x) = ∑+∞n=0
an(x-c)n
El
dominio de f es el conjunto de todos los x para los cuales la serie converge.
El
primer objetivo de esta sección consiste en averiguar el dominio de las series
de potencia. Naturalmente, toda serie de potencia converge en su centro, ya que
f(x) = ∑+∞n=0 an(x-c)n
=a0(1)+0+0+…+0+…
=a0
Teorema. CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIA.
Para una
serie de potencia centrada en c, exactamente una de estas tres afirmaciones es
verdadera.
1.
La
serie converge solo en c.
2.
Existe
un número real R>0 tal que la serie es absolutamente convergente cuando |x - c|>R
3.
La
serie es absolutamente convergente para todo x real.
Ejemplo:
Calcular
el radio de convergencia de
∑+∞n=0
n!xn.
Solucion: para x = 0,es
f (x) =
∑+∞n=0 n!0n = 1 + 0 + 0 +… = 1
Para
cualquier valor fijado de x tal que |x|>0, denotemos un = n!xn.
Entonces
limn→∞|un+1/un|
=limn→∞|((n+1)!xn+1)/n!xn|
=|x|limn→∞
(n+1)
= ∞
Por
el criterio del cociente deducimos que la serie diverge para |x|>0 y
converge soloen su centro, el punto 0. Por tanto, su radio de convergencia es
r=0.
BIBLIOGRAFÍA:
Título: Calculo
y Geometría Analítica Sexta Edición.
Editorial: McGraw Hill.
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